映射
上面讲述了集合，然而有的集合之间并不是完全孤立的，而是有对应关系的。比如，中国四大名著的作者组成的集合 A 与四大名著 B 之间存在对应关系。
将这种普遍的共性抽象出来，设 D、 E 是两个非空集合，如果存在一个对应法则 f，使得对 D 中每个元素 x，按照对应法则 f，在 E 中有唯一确定的元素 y 与 x 对应， 则称 f 为从 D 到 E 的映射[1,3]，记作
其中 y 称为元素 x 在映射 f 下的像，并记作，
即
。
而元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的一个原像；集合 D 为映射 f 的定义域；集合 E 称为映射 f 的陪域； D 中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，记作
或
，即
其中符号 表示存在，
可以看出，
的值域是
的陪域的子集。
集合 D 到自身一个映射，通常称为 D 上额一个变换。集合 D 到数集 E 的一个映射，常称为从 D 到 E 的函数。
如果映射 f 与映射 g 的定义域、陪域、对应法则分别对应相同，那么称这两个映射相等。
映射 如果把 D 中每一个元素对应到它自身，即
那么称 f 为恒等映射（或 D 上的恒等变换），记作。
先后施行映射
和
，
得到
到
的一个映射， 称为 f 与 g 的合成（或乘积），记作
。 即
定理 映射的乘法适合结合律。即如果
那么