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集合的运算

类似于数的运算，集合也有运算规则。由于集合是具有共同特征事物的全体，因此会用到将两个集合 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 共同的部分提取出来，这就是取两个集合的交集。换句话说，由所有既属于 $S_{1}$ 又属于 $S_{2}$ 的元素组成的集合称为 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的交集（简称交），记作 $S_{1}\cap S_{2}$ 。用描述法表示为

$S_{1}\cap S_{2}=\left \{ s \mid s\in S_{1} \& s\in S_{2} \right \}$

比如，有理集 $Q$ 与无理数集 $P$ 的交集

$Q \cap P= \varnothing$

由所有属于 $S_{1}$ 或者属于 $S_{2}$ 的元素组成的集合称为 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的并集（简称并），记作 $S_{1} \cup S_{2}$ ，即

$S_{1} \cup S_{2} = \left \{ s \mid s\in S_{1} \ or \ s\in S_{2} \right \}$

比如，有理集 $Q$ 与无理数集 $P$ 的并集

$Q\cup P = R$

由所有属于 $S_{1}$ 而不属于 $S_{2}$ 的元素组成的集合称为 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的差集（简称差），记作 $S_{1} \setminus S_{2}$ ，即

$S_{1} \setminus S_{2} = \left \{ s \mid s\in S_{1} \ \& \ s\notin B \right \}$

比如，有理集 $Q$ 与无理数集 $P$ 的差集

$Q \setminus P = Q$

差集的一种特殊情况：当 $S_{1}$ 为所研究问题的最大集合时，所要研究的其他集合 $S_{2}$ 都是 $S_{1}$ 的子集，称集合 $S_{1}$ 为全集，称 $S_{1} \setminus S_{2}$ 为 $S_{2}$ 的补集或余集，记作 $S_{2}^{c}$ 。

比如，在复数集 C 中，实数集 R 的补集为

$R^{c} = \left \{ x \mid x= a+b\cdot i, a\in R, b\in R \ \& \ b\neq 0 \right \}$

除了集合之间的交、并和差运算之外，还有一种常用的生成新集合的方式-直积或笛卡尔（Descartes）积。设 X、 Y 是任意两个集合，在集合 X 中任意取一个元素 x，在集合 Y 中任意取一个元素 y，组成一个有序对（x, y），再把这样大的有序对作为新的元素，它们全体组成集合称为集合 X 与集合 Y 的直积，记作 $X \times Y$ ，即

$X \times Y = \left \{ (x, y) \mid x\in X \ \& \ y\in Y\right \}$

比如， $C \times C = \left \{ (x, y) \mid x\in C , y\in C\right \}$ 为复平面上全体点的集合， $C \times C$ 常记为 $C^{2}$ 。