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集合与映射

当提到中国古代四大发明时，大家一般会想到造纸术、印刷术、指南针和火药；当提到中国的四大名著时，大家会想起吴承恩的《西游记》、罗贯中的《三国演义》、曹雪芹的《红楼梦》、施耐庵的《水浒传》。生活中有很多类似于四大发明、四大名著的称呼，比如：世界上的所有国家、彩虹的颜色、三原色等等，这些称呼都有一个共同的特点，就是将具有明确地相同特性的事物放在一起的统称。

在数学上，把具有某种特征事物的总体称为集合(set), 组成该集合的事物称为该集合的元素(element)^[1,5]。比如，中国的四大名著，就可以称为一个集合，《西游记》则是其中的一个元素。有时为了方便与简洁，在数学上会引进一些符号来表示一些数学名称，这就使得数学上了一个台阶，当通过练习知道这些符号代表的内在含义时，就很方便地去推导以及交流。

但是这种符号表示的简化也为后来学习者或多或少带来了一些障碍。因为当没有介绍过某个概念，突然看到一个符号表示，智力再好也不可能知道它代表的含义。比如世界上第一个人发明※表示太阳，但他没有告诉你，这符号※表示太阳,而是给你画出这个符号※，问你这是什么时，这个问题换着任何人都可能回答，除非是发明者，因为只有他一个人知道这个符号代表的含义，当人们都开始用这个符号※表示太阳时，这就极大地方便人们之间的交流，因为这符号写起来相对简单些。如果过仅有部分人知道，还可以作为密码来使用，从某种意义上来说，数学也是一门符号化的语言。所以，在学习数学的时候，首先要弄明白符号背后的含义是什么。

下面，引进大写的拉丁字母 A、B、C 等符号来表示集合，用小写的拉丁字母 a、b、c 等符号表示集合的元素，需要注意的是有的时候拉丁字母不够多或者不方便时，也会引进其他的符号表示元素。比如用 B 这个符号表示四大名著用 b1 表示《西游记》、b2 表示《三国演义》、b3表示《红楼梦》、b4表示《水浒传》。 b1 是 B 的元素，在数学上，通常说 b1 属于 B ，记做 $b1 \in B$ 假设，h 表示《海底两万里》，h 就不是集合 B 的元素，就说 h 不属于 B，记做 $b1 \not \in B$ 。

像四大名著这样的集合有有限个元素，称为有限集; 也可以通过列举法来表示这个集合。例如，可以将 C 的元素一一列举出来写在大括号里面

$C = \begin{Bmatrix} c_{1}, & c_{2}, & c_{3}, & c_{4} \end{Bmatrix}$

如果遇到像自然数集(自然数组成的集合)有无限多个元素该如何来表示呢？通常称有无限多个元素的集合为无限集，好在自然数集有了 0 和 1，其他的数就都知道了；也可以通过列举法来列举出有限个，其余的用省略号代替。自然数集 N 用列举法表示为

$N = \begin{Bmatrix} 0,1,2,\cdots,n,\cdots \end{Bmatrix}$

同样地，用列举法可以表示正整数集（所有正整数组成的集合）

$N^{+} = \begin{Bmatrix} 1,2,3,\cdots,n,\cdots \end{Bmatrix}$

整数集（所有整数组成的集合）

$Z = \begin{Bmatrix} \cdots,-n,\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots,n,\cdots \end{Bmatrix}$

那像有理数集（所有有理数组成的集合）就不能用列举法来表示了，因为任意两个有理数之间一定还有理数（比如这两个有理数之间的中间值）。将有理数的性质描述出来写在大括号中：

$Q = \left \{ q \mid q=\frac{m}{n}, m \in Z, n \in N^{+}\right \}$

这种将用元素具有的性质来表示的方法叫描述法。若集合 A 由具有某种性质 $\Gamma$ 的元素 a 组成，则描述法的一般形式为 A = {a | a具有性质 $\Gamma$ }

同样地，可以用描述法来表示无理数集

$P = \left \{ p\mid p \neq \frac{n}{m}, \forall m\in Z, \forall n\in N^{+} \right \}$

其中符号 $\forall$ 表示任意的。

同时，也可以用自然语言描述法来描述集合，比如，实数集 R 是所有有理数和无理数组成的集合。

在量子计算中常常会用到复数集

$C = \left \{ c \mid c = a + bi, a,b \in R, i^{2} = -1 \right \}$

其中 $c = a + bi$ 表示复数(complex number), 实部 a 和虚部 b 都是实数， $i$ 在这里表示一个符号并且满足 $i^{2} = -1$ 。有时用有序数对 $\left (a, b \right )$ 来表示复数 $a + bi$ 。

两个复数 $c_{1} = a_{1} + b_{1}i$ 和 $c_{2} = a_{2} + b_{2}i$ 相等的充要条件是实部和虚部分别对应相等，即:

$c_{1}=c_{2} \Leftrightarrow a_{1}=a_{2}, b_{1}=b_{2}$

两个复数 $c_{1} = a_{1} + b_{1}i$ 和 $c_{2} = a_{2} + b_{2}i$ 做和相当于实部和虚部分别对应做和，即:

$c_{1}+c_{2} = \left ( a_{1}+a_{2} \right ) + \left ( b_{1}+b_{2} \right )i$

两个复数 $c_{1} = a_{1} + b_{1}i$ 和 $c_{2} = a_{2} + b_{2}i$ 做差相当于实部和虚部分别对应做差，即:

$c_{1}-c_{2} = \left ( a_{1}-a_{2} \right ) + \left ( b_{1}-b_{2} \right )i$

两个复数 $c_{1} = a_{1} + b_{1}i$ 和 $c_{2} = a_{2} + b_{2}i$ 乘法被定义为

$c_{1}c_{2} = \left ( a_{1}+b_{1}i \right )\left ( a_{2}+b_{2}i \right ) =a_{1}\left ( a_{2}+b_{2}i \right ) + b_{1}i\left ( a_{2}+b_{2}i \right ) =a_{1}a_{2} + a_{1}b_{2}i + b_{1}ia_{2} + b_{1}ib_{2}i =a_{1}a_{2} + a_{1}b_{2}i + b_{1}ia_{2} + b_{1}b_{2}i^{2}$

因为 $i^{2}=-1$ , 因此

$\left ( a_{1} + b_{1}i \right )\left (a_{2} + b_{2}i \right )=\left ( a_{1}a_{2} - b_{1}b_{2} \right )+ \left ( a_{1}b_{2} + b_{1}a_{2} \right )i$

比如

$\left ( 1 - 2i \right )\left (-3 + 4i \right )=1 \cdot \left ( -3 + 4i \right )+ \left (-2i \right ) \left ( -3 + 4i \right )=-3 + 4i + 6i + 8 = 5 + 10i$

在给出两个复数除法的定义之前，先定义复数 $c = a + bi$ 的复共轭（ complex conjugate）为

$\bar{c} = a - bi$

或

$c^{*} = a - bi$

由复数的乘法，可知

$c\bar{c} = \left ( a + bi \right )\left ( a - bi \right ) = a^{2} + b^{2}$

那么根据复共轭的定义，两个复数 $c_{1}=a_{1}+b_{1}i$ 和 $c_{2}=a_{2}+b_{2}i$ 除法被定义为

$\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{c_{1}\bar{c_{2}}}{c_{2}\bar{c_{2}}}=\frac{\left (a_{1}+b_{1}i \right )\left (a_{2} - b_{2}i \right )}{\left (a_{2}+b_{2}i \right )\left (a_{2} - b_{2}i \right )}=\frac{\left ( a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} \right ) + \left ( b_{1}a_{2} - a_{1}b_{2} \right )i}{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}$

比如，将 $\frac{1 + 2i}{3 - 4i}$ 写成 $a + bi$ 的形式

$\frac{1 + 2i}{3 - 4i} = \frac{1 + 2i}{3 - 4i} \cdot \frac{3 + 4i}{3 + 4i} = \frac{-5 + 10i}{3^{2} + 4^{2}}= -\frac{1}{5} + \frac{2}{5}i$