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旋转门（rotation operators）

分别用不同的泡利矩阵作为生成元是构成 RX,RY,RZ 的方法。

6.1 𝐑𝐗(𝜽) 门

RX 门由 Pauli-X 矩阵作为生成元生成，其矩阵形式为

$RX(\theta)=e^{\frac{-i\theta X}{2}}=cos(\frac{\theta}{2})I-isin(\frac{\theta}{2})X=\begin{bmatrix} cos(\frac{\theta}{2}) & -isin(\frac{\theta}{2})\\ -isin(\frac{\theta}{2}) & cos(\frac{\theta}{2}) \end{bmatrix}$

其在线路上显示如图 6.1 所示：

图 2.2.7.1

图 6.1

假设， $RX(\frac{\pi}{2})$ 门作用在任意量子态 $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ 上面, 得到新的量子态为：

$|\Psi ^{'}\rangle=RX(\frac{\pi}{2})|\psi\rangle=\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{bmatrix} 1 & -i\\ -i & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{bmatrix} \alpha-i\beta \\ \beta-i\alpha \end{bmatrix} = \frac{\sqrt{2}(\alpha-i\beta)}{2}|0\rangle+\frac{\sqrt{2}(\beta-i\alpha)}{2}|1\rangle$

6.2 𝐑𝐘(𝜽) 门

RY 门由 Pauli-Y 矩阵作为生成元生成，其矩阵形式为

$RY(\theta)=e^{\frac{-i\theta Y}{2}}=cos(\frac{\theta}{2})I-isin(\frac{\theta}{2})Y=\begin{bmatrix} cos(\frac{\theta}{2}) & -sin(\frac{\theta}{2})\\ sin(\frac{\theta}{2}) & cos(\frac{\theta}{2}) \end{bmatrix}$

其在线路上显示如图 6.2 所示：

图 2.2.7.2

图 6.2

假设， $RY(\frac{\pi}{2})$ 门作用在任意量子态 $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ 上面, 得到新的量子态为：

$|\Psi ^{'}\rangle=RY(\frac{\pi}{2})|\psi\rangle=\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{bmatrix} \alpha-\beta \\ \alpha+\beta \end{bmatrix} = \frac{\sqrt{2}(\alpha-\beta)}{2}|0\rangle+\frac{\sqrt{2}(\alpha+\beta)}{2}|1\rangle$

6.3 𝐑𝐙(𝜽) 门

RZ 门又称相位转化门（phase-shift gate），其由 Z 门为生成元生成，矩阵形式为

$RZ(\theta)=e^{\frac{-i\theta Z}{2}}=cos(\frac{\theta}{2})I-isin(\frac{\theta}{2})Z = \begin{bmatrix} e^{\frac{-i\theta}{2}} & 0\\ 0 & e^{\frac{i\theta}{2}} \end{bmatrix}$

上式还可以写为

$RZ(\theta) = \begin{bmatrix} e^{\frac{-i\theta}{2}} & \\ & e^{\frac{i\theta}{2}} \end{bmatrix} = e^{\frac{-i\theta}{2}} \begin{bmatrix} 1 & \\ & e^{i\theta} \end{bmatrix}$

由于矩阵

$\begin{bmatrix} e^{\frac{-i\theta}{2}} & \\ & e^{\frac{i\theta}{2}} \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} 1 & \\ & e^{i\theta} \end{bmatrix}$

只差一个整体相位（global phases） $e^{\frac{-i\theta}{2}}$ ，只考虑单门的话，两个矩阵做成的量子逻辑门是等价的，即有时 RZ 门的矩阵形式写作

$RZ(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{i\theta} \end{bmatrix}$

RZ 量子逻辑门作用在基态上的效果为

$RZ|0\rangle = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{i\theta} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} = |0\rangle$

$RZ|1\rangle = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{i\theta} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ e^{i\theta} \end{bmatrix} = e^{i\theta}|1\rangle$

由于全局相位没有物理意义，并没有对计算基 $|0\rangle$ 和 $|0\rangle$ 做任何的改变，而是在原来的态上绕 Z 轴逆时针旋转 $\theta_$ 角。

其在线路上显示如图 6.3 所示：

图 2.2.7.3

图 6.3

假设， $RZ(\frac{\pi}{2})$ 门作用在任意量子态 $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ 上面, 得到新的量子态为：

$|\Psi ^{'}\rangle=RZ(\frac{\pi}{2})|\psi\rangle =\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & \frac{\sqrt{2}(1+i)}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}$ $=\begin{bmatrix} \alpha \\ \frac{\sqrt{2}(1+i)}{2}\beta \end{bmatrix} = \alpha|0\rangle+\frac{\sqrt{2}(1+i)}{2}\beta|1\rangle$

RX,RY,RZ 意味着将量子态在布洛赫球上分别绕着 X,Y,Z 轴旋转 θ 角度，所以 RX，RY 能带来概率幅的变化，而 RZ 只有相位的变化。那么，共同使用这三种操作能使量子态在整个布洛赫球上自由移动。