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单量子比特逻辑门

在经典计算机中，单比特逻辑门只有一种——非门（NOT Gate），但是在量子计算机中，量子比特情况相对复杂，存在叠加态、相位，所以单量子比特逻辑门会有更加丰富的种类。

4.1 泡利矩阵

泡利矩阵（Pauli matrices）有时也被称作自旋矩阵（spin matrices）。有以下三种形式，分别是

$\sigma _{x}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \ \ \sigma _{y}=\begin{bmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{bmatrix} \ \ \sigma _{z}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

三个泡利矩阵所表示的泡利算符代表着对量子态矢量最基本的操作。如将 $\sigma _{x}$ 作用到 $|0\rangle$ 态上，经过矩阵运算，得到的末态为 $|1\rangle$ 态。泡利矩阵的线性组合是完备的二维酉变换生成元，即所有满足 $UU^{\dagger}=I$ 的 $U$ 都能通过下面这种方式得到

$U=e^{-i\theta(a\sigma _{x}+b\sigma _{y}+c\sigma _{z})}$

介绍单量子逻辑门时，会使用图 2.2.5.1 来表示。

图 2.2.5.1

横线表示一个量子比特从左到右按照时序演化的路线，方框表示量子逻辑门，这个图标表示一个名为 U 的逻辑门作用在这条路线所代表的量子比特上。对于一个处于 $|\psi _{0}\rangle$ 的量子态，将这个量子逻辑门作用在上面时，相当于将这个量子逻辑门代表的酉矩阵左乘这个量子态的矢量，然后得到下一个时刻的量子态 $|\psi _{1}\rangle$ 。

即： $|\psi _{1}\rangle=U|\psi _{0}\rangle$

这个表达式对于所有的单比特门或者多比特门都是适用的。对于一个有 n 个量子比特的量子系统，它的演化是通过一个 $2^{n} \times 2^{n}$ 的酉矩阵来表达。