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量子程序基础知识

矩阵的指数函数

一旦定义了矩阵乘法，就可以利用函数的幂级数来定义矩阵的函数，这其中就包含矩阵的指数函数。如果 A 是一个矩阵，那么 $exp\left ( A \right ) = 1 + A + \frac{A^{2}}{2!} + \frac{A^{3}}{3!} + \cdots$ 就为矩阵 A 的指数函数形式。

如果 A 是一个对角矩阵，即 $A = \begin{bmatrix} A_{11} & & &\\ & A_{22} & &\\ & & A_{33} &\\ & & & \cdots \end{bmatrix}$ , 则由此验证

$A^{n} = \begin{bmatrix} A_{11}^{n} & & &\\ & A_{22}^{n} & &\\ & & A_{33}^{n} &\\ & & & \cdots \end{bmatrix}$

从而得到

$exp(A) = \begin{bmatrix} e^{A_{11}} & & &\\ & e^{A_{22}} & &\\ & & e^{A_{33}} &\\ & & & \cdots \end{bmatrix}$

如果 $A$ 不是一个对角矩阵，则利用酉变换可以将它对角化, $D = UAU^{ \dagger}$ 。从而有

$A^{n}=UD^{n}U^{ \dagger }$

那么，类似地

$exp(A) ==Uexp(D)U^{ \dagger }$

必须要引起注意的是

$exp(A+B)\neq exp(A)exp(B)\neq exp(B)exp(A)$

当 $A$ 是表示数的时候等号是成立的，那么，当 $A$ 表示是矩阵时，等式成立要满足什么条件？

通常，下面这种表达形式被称之为以 A 为生成元而构成的酉变换；

$U\left ( \theta \right ) = exp(-i\theta A)$

这种矩阵的指数运算可以利用数值计算软件 Matlab 中的 expm，或者 Mathematica 中的 MatrixExp 命令进行方便地计算。