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酉变换 Unitary Transformation

酉变换是一种矩阵，也是一种操作，它作用在量子态上得到的是一个新的量子态。使用 $U$ 来表达酉矩阵， $U^{\dagger }$ 表示酉矩阵的转置复共轭矩阵，二者满足运算关系 $UU^{\dagger }=I$ ，所以酉矩阵的转置复共轭矩阵也是一个酉矩阵，说明酉变换是一种可逆变换。

一般酉变换在量子态上的作用是变换矩阵左乘以右矢进行计算的。例如一开始有一个量子态 $|\psi _{0}\rangle$ ，经过酉变换 $U$ 之后得到

$| \psi \rangle = U | \varphi _{0} \rangle$

或者也可以写为

$\langle \psi | = \langle \varphi_{0} | U^{\dagger}$

由此可见，两个矢量的内积经过同一个酉变换之后保持不变。

$\left \langle \varphi |\psi \right \rangle = \left \langle \varphi |U^{\dagger}U|\psi \right \rangle$

类似地，也可以通过酉变换表示密度矩阵的演化，从密度矩阵的初始态 $\rho&space;_{0}$ 演化成为密度矩阵终态 $\rho$

推导过程

$\\ \because\rho = |\psi \rangle \langle \psi| \\ | \psi \rangle = U | \varphi _{0} \rangle \\ \langle \psi | = \langle \varphi_{0} | U^{\dagger} \\ \\ \therefore \rho = U | \varphi _{0} \rangle \langle \varphi_{0} | U^{\dagger} \\ \rho = U | \rho_{0} | U^{\dagger}$

推导结果

$\rho = U\rho _{0}U^{\dagger}$

这样就连混合态的演化也包含在内了。