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状态的演化 Evolution of State

量子态可以由态矢（或称向量）来表示，量子也可以有不同的状态，并且可以同时处于不同的状态，那么量子态是如何随时间演化呢？如下例：

假设：封闭的(closed)量子系统的演化（evolution）由酉变换（unitary transformation）来描述。具体地，在 $t_{1}$ 时刻系统处于状态 $|\psi _{1}\rangle$ ，经过一个和时间 $t_{1}$ 　和 $t_{2}$ 　有关的酉变换Ｕ, 系统在 $t_{2}$ 时刻的状态

$|\psi_{2} \rangle=U |\psi _{1} \rangle$

这里的酉变换 U 可以理解为是一个矩阵，并且满足

$UU^{\dagger}=I$

其中 $U^{\dagger}$ 表示对矩阵 $U$ 取转置共轭。根据可逆矩阵的定义可知， $U$ 也是一个可逆矩阵，因此酉变换也是一个可逆变换。

而在量子计算中，各种形式的酉矩阵被称作量子门。例如 Pauli 矩阵也是一组酉矩阵,

$\delta _{0} \equiv I \equiv \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \ \ \ \ \delta _{1} \equiv \delta _{x} \equiv X \equiv \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

$\delta _{2} \equiv \delta _{y} \equiv Y \equiv \begin{bmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{bmatrix} \ \ \ \ \delta _{3} \equiv \delta _{z} \equiv Z \equiv \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

那么 $X$ $Y$ $Z$ 门到底是不是酉矩阵？让我们来变换一下看一看

$XX^{\dagger}$ 的证明

$XX^{\dagger}= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\times [0\ 1] + 1\times [1\ 0]\\ 1\times [0\ 1] + 0\times [1\ 0] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} [0\times0\ 0\times0] + [1\times 1\ 1\times 0]\\ [1\times0\ 1\times1] + [0\times1\ 0\times0] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} [0\ 0] + [1\ 0]\\ [0\ 1] + [0\ 0] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \equiv I$

$YY^{\dagger}$ 的证明

$YY^{\dagger}= \begin{bmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\times [0\ -i] + -i\times [i\ 0]\\ i\times [0\ -i] + 0\times [i\ 0] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} [0\times 0\ 0\times -i] + [-i\times i\ -i\times 0]\\ [i\times 0\ i\times -i] + [0\times i\ 0\times0] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} [0\ 0] + [1\ 0]\\ [0\ 1] + [0\ 0] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \equiv I$

$ZZ^{\dagger}$ 的证明

$ZZ^{\dagger}= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\times [1\ 0] + 0\times [1\ 0]\\ 0\times [1\ 0] + -1\times [0\ -1] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} [1\times 1\ 1\times 0] + [0\times 1\ 0\times 0]\\ [0\times 1\ 0\times 0] + [-1\times 0\ -1\times -1] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} [1\ 0] + [0\ 0]\\ [0\ 0] + [0\ 1] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \equiv I$

以 $X$ 门作用在量子态上为例，

$X|0\rangle=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} = |1\rangle$

$X|1\rangle=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} = |0\rangle$

再如 $X$ 门作用在任意的量子态 $| \psi \rangle = \alpha | 0 \rangle + \beta | 1 \rangle$ 上

$X|\psi \rangle = X(\alpha\times |0\rangle+\beta\times |1\rangle) = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \left ( \alpha \times \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + \beta \times \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right ) = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \left ( \begin{bmatrix} \alpha\times 1\\ \alpha\times 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \beta\times0 \\ \beta\times1 \end{bmatrix} \right ) = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \left ( \begin{bmatrix} \alpha\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \beta \end{bmatrix} \right ) = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\times\alpha+1\times\beta\\ 1\times\alpha+0\times\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \beta \\ \alpha \end{bmatrix}$

从上述中看出，量子态的演化本质上可以看作是对量子态对应的矩阵做变换，即是做矩阵的乘法。由于 $X$ 门和经典逻辑门中的非门类似，有时也常称 $X$ 门为量子非门（quantum NOT gate）。

所以从某种角度上来说，量子计算就是做各种矩阵运算，通过矩阵运算，对量子比特进行翻转，对调等各式操作。只要你掌握了加减乘除和矩阵运算规则，那么量子计算的基本运算就难不倒你了。