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复合系统的状态演化

已知两能级的量子系统的状态是通过酉变换来实现演化的，那么复合系统的状态该如何随时间发生演化呢？复合系统可以看成是子系统的张成，因此以下假设可以说明复合系统中量子态的变化。

假设：复合系统中量子态的演化是由张成复合系统的子系统中量子态的演化对应的酉变换做张量生成的变换来描述，即是说，如果有被 1 到 n 标记的系统，第 i 个系统在 $t_{1}$ 时刻的状态为 $|\psi_{i}^{1}\rangle$ ，那么生成的整个系统的联合状态 $|\psi^{1}\rangle$ 为 $|\psi_{1}^{1}\rangle\bigotimes |\psi_{2}^{1}\rangle\bigotimes\cdots \bigotimes |\psi_{n}^{1}\rangle$ ；在 $t_{2}$ 时刻,通过酉变换 $U_{i}$ 将第 i 个系统的状态演化为 $|\psi_{i}^{2}\rangle$ ，那么在 $t_{2}$ 时刻，复合系统的状态通过变换 $U_{1}\bigotimes U_{2} \bigotimes\cdots\bigotimes U_{n}$ 演化为 $|\psi _{1}^{2}\rangle\bigotimes |\psi _{2}^{2}\rangle\bigotimes\cdots \bigotimes|\psi _{n}^{2}\rangle$ 。

例如，复合系统 H 由两能级系统 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 复合而成，在 $t_{1}$ 时刻，两个系统的状态都为 $|0\rangle$ ，则复合系统的状态为 $|00\rangle$ ；在时刻 $t_{2}$ ，第一个系统经过 X 门，状态变为 $|1\rangle$ ，第二个系统经过 Z 门，状态为 $|0\rangle$ ，那么复合系统的状态经过变换

$X \bigotimes Z = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \bigotimes \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

变为

$[X \bigotimes Z]|00\rangle = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} = |10\rangle$

本质上复合系统中量子态的演化也是矩阵的乘法，与单个子系统相比，只不过是多了张量积的运算。