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张量积

张量积是两个向量空间形成一个更大向量空间的运算。在量子力学中，量子的状态由希尔伯特空间（Hilbert spaces）中的单位向量来描述。

设 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 分别为 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ 维的希尔伯特空间。 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 的张量积为一个 mn维的希尔伯特空间 $H\equiv H_{1}\bigotimes H_{2}$ ，对于 $H_{1}$ 中的每一个向量 $|h_{1}\rangle$ 和 $H_{2}$ 中的每一个向量 $|h_{2}\rangle$ 在 $H$ 都有中唯一的向量 $|h_{1}\rangle\bigotimes |h_{2}\rangle$ ，并且 H 中向量可表示为向量 $|h_{1}\rangle\bigotimes |h_{2}\rangle$ 的线性叠加。还要满足以下基本性质：

( i ). 对任意 $|h_{1}\rangle\in H_{1},|h_{2}\rangle\in H_{2}$ ，以及任意复数 $c\in C$ ，都有

$c(|h_{1}\rangle\bigotimes |h_{2}\rangle)=(c|h_{1}\rangle)\bigotimes |h_{2}\rangle=|h_{1}\rangle\bigotimes (c|h_{2}\rangle)$

( ii ). 对任意 $|h_{1}^{1}\rangle,|h_{1}^{2}\rangle\in H_{1}$ ，任意 $|h_{2}\rangle\in H_{2}$ ，都有 $(|h_{1}^{1}\rangle+|h_{1}^{2}\rangle)\bigotimes |h_{2}\rangle=|h_{1}^{1}\rangle\bigotimes |h_{2}\rangle+|h_{1}^{2}\rangle\bigotimes |h_{2}\rangle$

( iii ). 对任意 $|h_{1}\rangle\in H_{1}$ ，任意 $|h_{2}^{1}\rangle,|h_{2}^{2}\rangle\in H_{2}$ ，都有 $|h_{1}\rangle\bigotimes (|h_{2}^{1}\rangle+|h_{2}^{2}\rangle)=|h_{1}\rangle\bigotimes |h_{2}^{1}\rangle+|h_{1}\rangle\bigotimes |h_{2}^{2}\rangle$

$|h_{1}\rangle\bigotimes |h_{2}\rangle$ 经常被简写为 $|h_{1}\rangle|h_{2}\rangle$ ， $|h_{1},h_{2}\rangle$ 或 $|h_{1}h_{2}\rangle$ 。

如果 $|i\rangle$ 和 $|j\rangle$ 分别为 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 的标准正交基，那么 $|i\rangle\bigotimes |j\rangle$ 为 $H\equiv H_{1}\bigotimes H_{2}$ 的标准正交基。例如，现在有两个 2 维的希尔伯特空间 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ ，并且都有一组标准正交基 $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ ，那么 H 的标准正交基为 $\{|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle\}$ 。因此，任意给定 H 中的向量 $|\psi\rangle$ 都可以表示成这组标准正交基的线性组合

$|\psi\rangle=\varepsilon _{00}|00\rangle+\varepsilon _{01}|01\rangle+\varepsilon _{10}|10\rangle+\varepsilon _{11}|11\rangle$

其中 $\varepsilon _{ij} \equiv \langle ij|\psi\rangle , i,j \in \{0,1\}$

设 A 和 B 分别为 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 上的线性算子，那么算子 $A\bigotimes B$ 作用到 H 中的任意向量

$|\psi \rangle=\sum_{ij} \varepsilon _{ij}|ij\rangle=\sum_{ij} \varepsilon _{ij}|i\rangle\bigotimes |j\rangle$

被定义为

$(A\bigotimes B)|\psi \rangle=(A\bigotimes B)[\sum_{ij} \varepsilon _{ij}|i\rangle\bigotimes |j\rangle]=\sum_{ij} \varepsilon _{ij}(A|i\rangle)\bigotimes (B|j\rangle)$

可以证明以这种方式定义 $A\bigotimes B$ 为 $H_{1}\bigotimes H_{2}$ 上的线性算子。

对于 H 中的两个任意向量 $|\alpha style=$ 和 $|\beta \rangle=\sum_{ij}\beta_{ij}|ij\rangle$ ，这两个向量的内积被定义为

$\langle \alpha|\beta \rangle\equiv \sum_{ij}\alpha_{ij}^{*}\beta_{ij}$

也可以证明这种函数满足之前的内积定义。

这样的表达形式优点是表示比较简练，缺点是不太容易有直观的认识。下面给出线性算子张量积的矩阵表示的运算规则-克罗内科积（Kronecker product）。设 A 是 $m \times n$ 的矩阵， B 是 $p \times q$ 的矩阵。 $A\bigotimes B$ 的矩阵形式定义为

$A\bigotimes B=\begin{bmatrix} A_{11}B & A_{12}B & \cdots & A_{1n}B\\ A_{21}B & A_{22} & \cdots & A_{2n}B\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{m1}B & A_{m2}B & \cdots & A_{mn}B \end{bmatrix}$

这里 $A\bigotimes B$ 是一个 $mp \times nq$ 的矩阵， $A_{ij}B$ 表示矩阵 A 的中的第 i 行，第 j 列元素与矩阵 B 相乘。

例如，Pauli 矩阵 $\sigma_{x}$ 和 $\sigma_{y}$ 做张量积生成的矩阵为

$\sigma_{x}\bigotimes \sigma_{y} = \begin{bmatrix} 0\cdot \sigma_{y} & 1\cdot \sigma_{y}\\ 1\cdot \sigma_{y} & 0\cdot \sigma_{y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & -i\\ 0 & 0 & i & 0\\ 0 & -i & 0 & 0\\ i & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

举个反例就可以验证张量积并不满足交换律。

$\sigma_{y}\bigotimes \sigma_{x} = \begin{bmatrix} 0\cdot \sigma_{x} & -i\cdot \sigma_{x}\\ i\cdot \sigma_{x} & 0\cdot \sigma_{x} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & -i\\ 0 & 0 & -i & 0\\ 0 & i & 0 & 0\\ i & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

可以看出 $\sigma_{x}\bigotimes \sigma_{y} \neq \sigma_{y}\bigotimes \sigma_{x}$

两个向量做张量积该如何表示呢？其实在给定基下，向量的坐标表示也可以看作一个特殊的矩阵。例如向量 $|\alpha \rangle=\alpha_{0}|0 \rangle+\alpha_{1}|1 \rangle$ 和 $|\beta \rangle=\beta_{0}|0 \rangle+\beta_{1}|1 \rangle$ 在标准正交基 $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ 下的矩阵表示分别为 $|\alpha\rangle = [\alpha _{1},\alpha _{2}]^{T}$ 和 $|\beta\rangle = [\beta _{1},\beta _{2}]^{T}$ 。因此， $|\alpha\rangle \bigotimes |\beta\rangle$ 的矩阵表示为

$|\alpha\rangle \bigotimes |\beta\rangle\ =\begin{bmatrix} \alpha_{1}|\beta\rangle\\\ \alpha_{2}|\beta\rangle\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_{1}\beta_{1}\\ \alpha_{1}\beta_{2}\\ \alpha_{2}\beta_{1}\\ \alpha_{2}\beta_{2} \end{bmatrix}$

借助张量积，就可以由子系统来生成复合系统（Composite system）。

假设：复合物理系统的状态空间由子物理系统状态空间的张量积生成，即是说，如果有被 1 到 n 标记的系统，第 i 个系统的状态为 $|\psi_{i}\rangle$ ，那么生成的整个系统的联合状态为 $|\psi_{1}\rangle\bigotimes |\psi_{2}\rangle\bigotimes \cdots \bigotimes|\psi_{n}\rangle$ 。

复合系统有单量子系统不具有的另一个奇特现象就是纠缠（entanglement）。在数学上，设态 $|\psi\rangle= H_{1}\bigotimes H_{2}$ ，若不存在 $|\alpha\rangle\in H_{1}, |\beta\rangle\in H_{2}$ ，使得 $|\psi\rangle=|\alpha\rangle \bigotimes |\beta\rangle$ ，则称 $|\psi\rangle$ 是纠缠的（entangled）。否则，称 $|\psi\rangle$ 不处于纠缠态（entangled state）。

例如，在双量子比特系统中， $|\psi_{1}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle-|11\rangle)$ 处于纠缠态。而 $|\psi_{2}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|01\rangle)$ 是非纠缠的，这是因为 $|\psi_{2}\rangle$ 还可分成 $\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle\bigotimes (|0\rangle+|1\rangle)$ 。