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投影测量

为什么要介绍投影测量呢？因为当测量算子具有酉变换性质时，投影测量和一般测量等价。

投影测量由一个可观测量（observable） $\Lambda$ 来描述，可观测量 $\Lambda$ 是一个待观测系统的状态空间上的自伴算子。可观测量 $\Lambda$ 可以写成谱分解的形式

$\Lambda=\sum_{i}\lambda_{i}P_{i}$

这里的 $P_{i}$ 为在 $\Lambda$ 的特征值 $\lambda _{i}$ 对应特征空间上的投影。测量的可能结果对应于可观测量 $\Lambda$ 的特征值 $\lambda _{i}$ 。在对状态 $|\psi\rangle$ 测量之后，得到结果 i 的概率为

$p_{i}=p(\lambda=\lambda_{i})=\langle\psi|P_{i}|\psi\rangle$

若测量后，结果 i 发生，则量子系统最新的状态为

$\frac{P_{i}|\psi\rangle}{\sqrt{p_{i}}}$

投影测量有一个重要的特征就是很容易计算投影测量的平均值 $E(\Lambda )$ 。

$E(\Lambda )=\sum_{i}\lambda _{i}p_{i}=\sum_{i}\lambda _{i}\langle\psi|P_{i}|\psi\rangle=\langle\psi|[\sum_{i}\lambda _{i}P_{i}]|\psi\rangle=\langle\psi|\Lambda |\psi\rangle$

这个公式它能够简化很多计算。观测量 $\Lambda$ 的平均值通常也记作 $\langle \Lambda \rangle=\langle\psi|\Lambda |\psi\rangle$

因此，观测量 $\Lambda$ 的标准差（standard deviation） $\Delta (\Lambda)$ 满足

$[\Delta (\Lambda)]^{2}=\langle(\Lambda-\langle\Lambda\rangle)^{2}\rangle=\langle\Lambda^{2}\rangle-\langle\Lambda\rangle^{2}$

标准差是一个刻画典型分散程度的度量。