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观测量和计算基下的测量

量子比特（qubit）不同于经典的比特（bit），一个量子比特 $|\psi \rangle$ 可以同时处于 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 两个状态，可用线性代数中的线性组合（linear combination）来表示为

$|\psi \rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$

在量子力学中常称量子比特|𝜓⟩处于|0⟩和|1⟩的叠加态（superpositions），其中α、β都是复数（complex number），两维复向量空间的一组标准正交基（orthonormal basis）|0⟩和 |1⟩组成一组计算基（computational basis）。

量子比特的信息不能直接获取，而是通过测量来获取量子比特的可观测的信息。可观测量在量子理论中由自伴算子（self-adjoint operators）来表征，自伴的有时也称Hermitian。量子理论中的可观测量与经典力学中的动力学量，如位置、动量和角动量等对应，而系统的其他特征，如质量或电荷，并不在可观测量的类别之中，它是作为参数被引入到系统的哈密顿量（Hamiltonian）。

在量子力学中测量（measure）会导致坍塌，即是说测量会影响到原来的量子状态，因此量子状态的全部信息不可能通过一次测量得到。当对量子比特|𝜓⟩进行测量时，仅能得到该量子比特概率 $|\alpha|^{2}$ 处在|0⟩态，或概率 $|\beta|^{2}$ 处在|1⟩态。由于所有情况的概率和为 1，则有 $|\alpha|^{2} + |\beta|^{2} = 1$ 。

当对量子进行测量时，会发生什么变化呢？

假设：量子测量是由测量算子（measurement operators）的集合 $\left \{ M_{i} \right \}$ 来描述，这些算子可以作用在待测量系统的状态空间（state space）上。指标（index） $i$ 表示在实验上可能发生的结果。如果测量前的量子系统处在最新状态|𝜓⟩，那么结果 $i$ 发生的概率为

$p(i)=\left \langle \psi |M_{i}^{\dagger}M_{i}|\psi \right \rangle$

并且测量后的系统状态变为

$\frac{M_{i}|\psi \rangle}{\sqrt{\left \langle \psi |M_{i}^{\dagger}M_{i}|\psi \right \rangle}}$

由于所有可能情况的概率和为 1，即

$\sum_{i}p(i)=\sum_{i}\langle \psi |M_{i}^{\dagger}M_{i}|\psi\rangle = 1$

因此，测量算子需满足

$\sum_{i}M_{i}^{\dagger}M_{i}=I$

该方程被称为完备性方程（completeness equation）。

再例如，在计算基下单量子比特的测量。单量子比特在计算基下有两个测量算子，分别是 $M_{0}=|0\rangle\langle0| , M_{1}=|1\rangle\langle1|$ 。注意到这两个测量算子都是自伴的，即

$M_{0}^{\dagger}=M_{0},M_{1}^{\dagger}=M_{1}$

且

$M_{0}^{2}=M_{0},M_{1}^{2}=M_{1}$

因此

$M_{0}^{\dagger}M_{0}+M_{1}^{\dagger}M_{1}=M_{0}+M_{1}=I$

该测量算子满足完备性方程。

设系统被测量时的状态是 $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ ，则测量结果为 0 的概率为

$P(0)=\langle\psi|M_{0}^{\dagger}M_{0}|\psi\rangle=\langle\psi|M_{0}|\psi\rangle=|\alpha|^{2}$

对应测量后的状态为

$\frac{M_{0}|\psi\rangle}{\sqrt{\langle\psi|M_{0}^{\dagger}M_{0}|\psi\rangle}} =\frac{M_{0}|\psi\rangle}{|\alpha|}=\frac{\alpha}{|\alpha|}|0\rangle$

测量结果为 1 的概率为

$P(1)=\langle\psi|M_{1}^{\dagger}M_{1}|\psi\rangle=\langle\psi|M_{1}|\psi\rangle=|\beta|^{2}$

测量后的状态为

$\frac{M_{1}|\psi\rangle}{\sqrt{\langle\psi|M_{1}^{\dagger}M_{1}|\psi\rangle}} =\frac{M_{1}|\psi\rangle}{|\alpha|}=\frac{\alpha}{|\alpha|}|1\rangle$

量子测量有很多种方式，比如投影测量（projective measurements）、POVM 测量（Positive Operator-Valued Measure）。